Exercise 2.1 | Advanced Mathematics | Class 9

1. Fill up the tables of truth values -
(A)

$\ p$	$\ q$	$\ \sim{p}$	$\ \sim{q}$	$\ p \vee{q}$	$\ p \wedge{q}$	$\ \sim({p \vee{q}})$	$\ \sim{p \wedge{q}}$	$\ \sim{p} \vee \sim{q}$
$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ F$
$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ T$
$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ T$
$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ T$

(B)

$\ p$	$\ q$	$\ \sim{p}$	$\ \sim{q}$	$\ p \wedge{\sim{q}}$	$\ p \to{q}$	$\ \sim{(p \to{q})}$	$\ \sim{p} \to \sim{q}$
$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ T$
$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ T$	$\ T$
$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ F$
$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ T$

(C)

$\ p$	$\ q$	$\ p \to{q}$	$\ p \wedge{(p \to{q})}$	$\ p \wedge{(p \to{q})} \to{q}$
$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$
$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ T$
$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ T$
$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ T$

2. Prove all the algebraic properties of statements with the help of truth tables.
Solution: Click Here


3. If $\ a$, $\ b$ and $\ c$ are any three statements, then prove that-
(a) $\ (a \wedge b) \to{(a \vee{b})}$
(b) $\ [(a \to{b}) \wedge{(b \to{c})}] \to{(a \to{c} )}$
are two statements both of which are formula (or tentologies).
Solution:
(a)

$\ a$	$\ b$	$\ a \wedge{b}$	$\ a \vee{b}$	$\ (a \wedge{b}) \to{(a \vee{b})}$
$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$
$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ T$
$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ T$	$\ T$
$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ T$

(b)

$\ a$	$\ b$	$\ c$	$\ a \to{b}$	$\ b \to{c}$	$\ a \to{c}$	$\ (a \to{b}) \wedge{(b \to{c})}$	$\ [(a \to{b}) \wedge{(b \to{c})}] \to{(a \to{c})}$
$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$
$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ T$
$\ T$	$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ T$
$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ T$
$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$
$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ T$
$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$
$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$

4. Prove that
(a) $\ \sim{(\sim{p}\wedge{\sim{q}}) \equiv p \vee q}$
Solution:

$\ p$	$\ q$	$\ \sim{p}$	$\ \sim{q}$	$\ p \vee{q}$	$\ \sim{p} \wedge{\sim{q}}$	$\ \sim{(\sim{p} \wedge{\sim{q}})}$
$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ T$
$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ T$
$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ T$
$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ T$	$\ F$

(b) $\ \sim{(\sim{p}\to{\sim{q}}) \equiv \sim{p} \vee q}$
Solution:

$\ p$	$\ q$	$\ \sim{p}$	$\ \sim{q}$	$\ \sim{p}\to{\sim{q}}$	$\ \sim{(\sim{p}\to{\sim{q}})}$	$\ \sim{p} \wedge{q}$
$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ F$
$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ F$
$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ T$
$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ F$

5. Test if correct or incorrect-
(a) $\ p \to{q} \equiv{\sim{p \to \sim{q}}}$
Solution:

$\ p$	$\ q$	$\ \sim{p}$	$\ \sim{q}$	$\ p \to{q}$	$\ \sim{p} \to{\sim{q}}$
$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ T$
$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ T$
$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ T$	$\ F$
$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$

It is not correct.

(b) $\ \sim{(p \to{q})} \equiv{p \to{\sim{q}}}$
Solution:

$\ p$	$\ q$	$\ \sim{p}$	$\ \sim{q}$	$\ p \to{q}$	$\ \sim{(p \to{q})}$	$\ p \to{\sim{q}}$
$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ F$
$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ T$	$\ T$
$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ T$
$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ T$

It is not correct.

(c) $\ \sim{(p \to{q})} \equiv{(p \to{\sim{q}}) \vee{(q \wedge{\sim{p}})}}$
Solution:

$\ p$	$\ q$	$\ \sim{p}$	$\ \sim{q}$	$\ p \to{q}$	$\ \sim{(p \to{q})}$	$\ p \to{\sim{q}}$	$\ q \wedge{\sim{p}}$	$\ (p \to{\sim{q}}) \vee{(q \wedge{\sim{p}})}$
$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ F$
$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ T$
$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ T$
$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ T$

It is not correct.

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